Question

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓

x2

b2

+

y2

a2

=1，（a＞b＞0）上的兩點，已知向量

m

=（

x1

b

，

y1

a

），

n

=（

x2

b

，

y2

a

），且

m

•

n

=0，若橢圓的離心率e=

3

2

，短軸長為2，O為坐標原點：
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；
（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意可求得b，進而根據離心率求得a和c，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）設出直線AB的方程，與橢圓方程聯立消去y，表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用

m

•

n

建立方程求得k．
（Ⅲ）先看當直線的斜率不存在時，可推斷出x₁=x₂，y₁=-y₂，根據

m

•

n

=0求得x₁和y₁的關系式，代入橢圓的方程求得|x₁|和|y₁|求得三角形的面積；再看當直線斜率存在時，設出直線AB的方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用

m

•

n

=0求得2b²-k²=4，最后利用弦長公式和三角形面積公式求得答案．

解答：解：（Ⅰ）2b=2．b=1，e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

?a=2，c=

3

橢圓的方程為

y2

4

+x2=1
（Ⅱ）由題意，設AB的方程為y=kx+

3

y=kx+ 3 y2 4 +x2=1

?(k2+4)x2+2

3

kx-1=0
x1+x2=

-2 3 k

k2+4

，x1x2=

-1

k2+4

由已知

m

•

n

=0得：

x1x2

b2

+

y1y2

a2

=x1x2+

1

4

(kx1+

3

)(kx2+

3

)
=(1+

k2

4

)x1x2+

3 k

4

(x1+x2)+

3

4

k2+4

4

(-

1

k2+4

)+

3 k

4

•

-2 3 k

k2+4

+

3

4

=0，解得k=±

2

（Ⅲ）（1）當直線AB斜率不存在時，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
由

m

•

n

=0，則x12-

y12

4

=0?y12=4x12
又A（x₁，y₁）在橢圓上，所以x12+

4x12

4

=1?|x1|=

2

2

，|y1|=

2

S=

1

2

|x1||y1-y2|=

1

2

|x1|2|y1|=1
所以三角形的面積為定值
（2）當直線AB斜率存在時，設AB的方程為y=kx+b

y=kx+b y2 4 +x2=1

?(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0
得到x₁+x₂=

-2kb

k2+4

x1x2=

b2-4

k2+4

x1x2+

y1y2

4

=0?x1x2+

(kx1+b)(kx2+b)

4

=0代入整理得：
2b²-k²=4
S=

1

2

|b|

1+k2

|AB|=

1

2

|b|

(x1+x2)2-4x1x2

=

|b| 4k2-4b2+16

k2+4

=

4b2

2|b|

=1
所以三角形的面積為定值

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．設直線方程的時候，一定要考慮斜率不存在時的情況，以免有所遺漏．