Question

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數f（x）=

1

2

+log₂

x

1-x

圖象上任意兩點，且

OM

=

1

2

（

OA

+

OB

），已知點M的橫坐標為

1

2

，且有S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

），其中n∈N^*且n≥2，
（1）求點M的縱坐標值；
（2）求s₂，s₃，s₄及S_n；
（3）已知an=

1

(Sn+1)(Sn+1+1)

，其中n∈N^*，且T_n為數列{a_n}的前n項和，若T_n≤λ（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，試求λ的最小正整數值．

Answer 1

分析：（1）由

OM

=

1

2

（

OA

+

OB

）知M為線段AB的中點，由M的橫坐標為

1

2

得x₁+x₂=1，由此可求得y₁+y₂，從而可得點M的縱坐標；
（2）根據S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

），分別令n=2，3，4即可求得s₂，s₃，s₄；由（1）知，由

1

n

+

n-1

n

=1，得f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=1，從而可求得2S_n；
（3）先表示出a_n，利用裂項相消法求得T_n，分離出參數λ后轉化為求函數的最值可解決，利用基本不等式可得最值；

解答：解：（1）依題意，由

OM

=

1

2

（

OA

+

OB

）知M為線段AB的中點，
又因為M的橫坐標為

1

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴

x1+x2

2

=

1

2

，即x₁+x₂=1，
∴y1+y2=1+log2(

x1

1-x1

•

x2

1-x2

)=1+log₂1=1，
所以

y1+y2

2

=

1

2

，
即點M的橫坐標為定值

1

2

；
（2）S2=f(

1

2

)=

1

2

+log2

1 2

1- 1 2

=

1

2

，
S3=f(

1

3

)+f(

2

3

)=

1

2

+log2

1 3

1- 1 3

+

1

2

+log2

2 3

1- 2 3

=1，
S4=f(

1

4

)+f(

2

4

)+f(

3

4

)=

1

2

+log2

1 4

1- 1 4

+

1

2

+log2

2 4

1- 2 4

+

1

2

+log2

3 4

1- 3 4

=

3

2

，
由（1）知，由

1

n

+

n-1

n

=1，得f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=1，
又S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）=f（

n-1

n

）+f（

n-2

n

）+…+f（

1

n

），
所以2S_n=（n-1）×1，即S_n=

n-1

2

（n∈N^*且n≥2）；
（3）當n≥2時，an=

1

(Sn+1)(Sn+1+1)

=

4

(n+1)(n+2)

，
又n=1時，a1=

4

2×3

=

2

3

也適合，
所以an=

4

(n+1)(n+2)

(n∈N*)，
∴Tn=

4

2×3

+

4

3×4

+…+

4

(n+1)(n+2)

=4（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）
=4（

1

2

-

1

n+2

）=

2n

n+2

（n∈N*），
由

2n

n+2

≤λ(

n

2

+1)恒成立（n∈N*）推得λ≥

4n

n2+4n+4

，
而

4n

n2+4n+4

=

4

n+ 4 n +4

≤

4

4+4

=

1

2

（當且僅當n=2取等號），
∴λ≥

1

2

，∴λ的最小正整數為1．

點評：本題考查數列與不等式、數列與向量的綜合，考查恒成立問題，考查轉化思想，綜合性強，難度較大．