Question

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數f(x)=

1

2

+log2

x

1-x

的圖象上兩點，且

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)，O為坐標原點，已知點M的橫坐標為

1

2

．
（Ⅰ）求證：點M的縱坐標為定值；
（Ⅱ）定義定義Sn=

n-1

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，其中n∈N^*且n≥2，求S₂₀₁₁；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的S_n，設an=

1

2Sn+1

(n∈N*)．若對于任意n∈N^*，不等式ka_n³-3a_n²+1＞0恒成立，試求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題設條件知M是AB的中點，由中點坐標公式可以求出M點的給坐標．
（II）根據Sn=

n-1

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)，則 Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

1

n

)以上兩式相加后兩邊再同時除以2就得到S_n，從而求出S₂₀₁₁；
（III）先求出a_n，代入不等式ka_n³-3a_n²+1＞0，要使不等式n³-3n+k＞0對于任意n∈N^*恒成立，即使k＞（-n³+3n）_max即可求出k的范圍．

解答：解：（I）依題意由

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)知M為線段AB的中點．
又∵M的橫坐標為1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）即

x1+x2

2

=

1

2

?x1+x2=1
∴y1+y2=1+log2(

x1

1-x1

•

x2

1-x2

)=1+log21=1?

y1+y2

2

=

1

2

即M點的縱坐標為定值

1

2

．
 （II）①由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2時 Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)
∴Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+••+f(

1

n

)
兩式想加得，2S_n=n-1
Sn=

n-1

2

∴S₂₀₁₁=

2011-1

2

=1005
（III）an=

1

2Sn+1

(n∈N*)．
∴a_n=

1

n

                                                                                
若對于任意n∈N^*，不等式ka_n³-3a_n²+1＞0恒成立，
∴不等式n³-3n+k＞0對于任意n∈N^*恒成立，
即k＞（-n³+3n）_max
∴k＞2
即實數k的取值范圍為（2，+∞）

點評：本題考查了數列與函數、函數的圖象、不等式等綜合內容，函數圖象成中心對稱的有關知識，考查相關方法，考查了數列中常用的思想方法，如倒序相加法，利用函數與方程的思想，轉化與化歸思想解答熱點問題--有關恒成立問題．