Question

已知a＞b＞0F是方程

x2

b2

+

y2

a2

=1的橢圓E的一個焦點，P、A，B是橢圓E上的點，

PF

與x軸平行，

PF

=

a

4

，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

i

=(

x1

b

，

y1

a

)，

n

=(

x2

b

，

y2

a

)，

i

⊥

n

原點O與A、B兩點構成的△AOB的面積為S
（I ）求橢圓E的離心率
（II）設橢圓E上的點與橢圓£的長軸的兩個端點構成的三角形的面積的最大值等于2，S是否為定值？如果是，求出這個定值：如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（I ）由a＞b＞0，P是橢圓E上的點，

PF

與x軸平行，知|

PF

|=

b2

a

，由

PF

=

a

4

，知b2=

1

4

a2，由此能求出離心率．
（II）由題設知橢圓E的方程為x2+

y2

4

=1，若直線AB與x軸垂直，則由橢圓的對稱性得A（x₁，y₁），B（x₁，-y₁），由

i

⊥

n

，知y₁=±2x₁．S=

1

2

|AB||x1| =2x12=1．當直線AB的斜率存在時，設直線AB為：kx-y+m=0，設A（x₁，kx₁+m），B（x₂，kx₂+m），則

l

=(

x1

b

，

kx1+m

a

)，

n

=(

x2

b

，

kx2+m

a

)，由

l

⊥

n

，a2=4，b2=1，知

x1x2

b2

+

(kx1+m)(kx2+m)

a2

=0，由

y=kx+m 4x2+y2-4=0

，得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0，再由韋達定理進行求解．

解答：解：（I ）∵a＞b＞0，P是橢圓E上的點，

PF

與x軸平行，
∴|

PF

|=

b2

a

，
∵

PF

=

a

4

，
∴b2=

1

4

a2，
∴

c2

a2

=

3

4

，
∴e=

3

2

．
（II）∵橢圓E上的點與橢圓E的長軸的兩個端點構成的三角形的面積的最大值等于2，
∴ab=2，解方程組

b2= 1 4 a2 ab=2

，得

a=2 b=1

，
∴橢圓E的方程為x2+

y2

4

=1．
若直線AB與x軸垂直，則由橢圓的對稱性得A（x₁，y₁），B（x₁，-y₁），
∵

i

⊥

n

，
∴

l

•

n

=

x1x2

b2

+

y1y2

a2

=x1x2+

y1y2

4

=0，
即y₁=±2x₁．
此時S=

1

2

|AB||x1| =2x12=1．
當直線AB的斜率存在時，設直線AB為：kx-y+m=0，
設A（x₁，kx₁+m），B（x₂，kx₂+m），
則

l

=(

x1

b

，

kx1+m

a

)，

n

=(

x2

b

，

kx2+m

a

)，
∵

l

⊥

n

，a2=4，b2=1，
∴

x1x2

b2

+

(kx1+m)(kx2+m)

a2

=0，
即（4+k²）x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=0x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=0，
由

y=kx+m 4x2+y2-4=0

，得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0，
∴

x1+x2=- 2km 4+k2 x1x2= m2-4 4+k2

，
∴(4+k2)x1x2+mk(x1+x2)+m2=

8m2-4k2-16

4+k2

，
∵（4+k²）x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=0，
∴8m²-4k²-16=0，即mk（x₁+x₂）+m²=0．
∵|AB|=

1+k2

•

4k2m2-4(m2-4)(k2+4) (4+k2)2

=

4 1+k2 • k2+4-m2

4+k2

=

2 1+k2

|m|

．
原點O到kx-y+m=0的距離d=

|m|

1+k2

，
∴S=

|AB|d

2

=1．
綜上所述，△AOB的面積是定值，等于1．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要靈活運用韋達定理、點到直線距離公式，注意合理地進行等價轉化．