Question

已知A，B，C是平面內互異的三點，O為平面上任意一點，

OC

=x

OA

+y

OB

，求證：
（1）若A，B，C三點共線，則x+y=1；
（2）若x+y=1，則A，B，C三點共線．

Answer 1

分析：（1）將三點共線轉化為以這三點確定的兩個向量共線；利用向量共線的充要條件得到等式；利用向量的運算法則將用O為起點的向量表示；利用平面向量的基本定理得證．
（2）通過代入消元將已知等式中的y消去，利用向量的運算法則化簡等式；利用向量共線的充要條件得證．

解答：證明：（1）∵A，B，C三點共線
∴

AB

∥

AC

∴存在λ有

AC

=λ

A

B
即

OC

-

OA

=λ(

OB

-

OA

)
∴

OC

=(1-λ)

OA

+λ

OB

∵

OC

=x

OA

+y

OB

∴

x=1-λ y=λ

∴x+y=1
（2）∵

OC

=x

OA

+y

OB

，x+y=1
∴

OC

=x

OA

+(1-x)

OB

，

OC

-

OB

=x(

OA

-

OB

)
即

BC

=x

BA

∴

BA

∥

BC

故A，B，C 共線．

點評：本題考查向量的運算法則、向量共線的充要條件、利用向量共線解決三點共線．