Question

（12分）已知函數f(x)＝x³－ax²＋(a²－1)x＋b(a，b∈R)，其圖象在點(1，f(1))處的切線方程為x＋y－3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求函數f(x)的單調區間，并求出f(x)在區間[－2,4]上的最大值．

Answer 1

解:　(1)f′(x)＝x²－2ax＋a²－1，
∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上，∴f(1)＝2，
∵(1,2)在y＝f(x)上，∴2＝－a＋a²－1＋b，
又f′(1)＝－1，∴a²－2a＋1＝0，
解得a＝1，b＝.
(2)∵f(x)＝x³－x²＋，∴f′(x)＝x²－2x，
由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的極值點，所以有

所以f(x)的單調遞增區間是(－∞，0)和(2，＋∞)，單調遞減區間是(0,2)．
∵f(0)＝，f(2)＝，f(－2)＝－4，f(4)＝8，
∴在區間[－2,4]上的最大值為8.

略