Question

(本題13分)
已知f(x)＝lnx＋x²－bx.
(1)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；
(2)當(dāng)b＝－1時(shí)，設(shè)g(x)＝f(x)－2x²，求證函數(shù)g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

解:(1)∵f(x)在(0，＋∞)上遞增，
∴f ′(x)＝＋2x－b≥0，對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，
即b≤＋2x對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，
∴只需b≤_min　(x>0)，
∵x>0，∴＋2x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取“＝”，
∴b≤2，
∴b的取值范圍為(－∞，2]．
(2)當(dāng)b＝－1時(shí)，g(x)＝f(x)－2x²＝lnx－x²＋x，其定義域是(0，＋∞)，
∴g′(x)＝－2x＋1
＝－＝－，
令g′(x)＝0，即－＝0，
∵x>0，∴x＝1，
當(dāng)0<x<1時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0，
∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x≠1時(shí)，g(x)<g(1)，即g(x)<0，當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)＝0.
∴函數(shù)g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．

略