Question

已知函數f（x）=2^x+a的反函數是y=f^-1（x）．設P（x+a，y₁），Q（x，y₂），R（2+a，y₃）是y=f^-1（x）圖象上不同的三點．
（1）如果存在正實數x，使y₁、y₂、y₃成等差數列，試用x表示實數a；
（2）在（1）的條件下，如果實數x是唯一的，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）從原函數式中反解出x，后再進行x，y互換，即得反函數的解析式：f^-1（x）=log₂（x-a），（x＞a），分別寫了y₁，y₂，y₃，由題意y₁、y₂、y₃成等差數列即可表示出a；
（2）由題意：關于x的方程（x-a）²=2x即x²-2（a+1）x+a²=0在（a，+∞）上有唯一解．下面對根的判別式進行分類討論：1⁰，當判別式△=0時，2⁰，當判別式△＞0時，利用二次函數的圖象與性質即可求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）f^-1（x）=log₂（x-a），（x＞a），y₁=log₂a，y₂=log₂（x-a），
y₃=log₂2=1由題意，2log₂（x-a）=log₂x+1(x-a)2=2x，a=x-

2x

，x∈(0，2)∪(2，+∞)
（2）由題意：關于x的方程（x-a）²=2x即x²-2（a+1）x+a²=0在（a，+∞）上有唯一解．
1⁰，當判別式△=0時，a=-

1

2

，這時方程有唯一解x=

1

2

滿足條件；
2⁰，當判別式△＞0時，方程的一個根大于a，
另一根小于a（不可能出現一根等于a的情形），
記g（x）=x²-2（a+1）x+a²，只需g（a）＜0即可，得a＞0．
解得：a＞0或a=-

1

2

點評：本小題主要考查反函數、等差數列的性質、一元二次方程的根的分布與系數的關系、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．