Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；

（2）設(shè)函數(shù)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

（i）求的值；

（ii）若時(shí)， 恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）（ⅰ）a=1（ⅱ）

【解析】試題分析：（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2=（x2﹣2x）lnx﹣x2+2，求出f′（x），則k=f′（1），代入直線方程的點(diǎn)斜式可得切線的方程．

（2）①令g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，則（x2﹣2x）lnx+ax2+2=x+2，即，構(gòu)造函數(shù)h（x）=，確定h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，可得h（x）max=h（1）=1，即可求a的值；

②當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=（x2﹣2x）lnx+x2﹣x，若，g（x）≥m，只需g（x）min≥m．

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， , ，

∴ ，又

∴在處的切線方程.

（2）（ⅰ）令，則

∴ 令， 則.

令,則 ，

，∴在上是減函數(shù) 又，

∴當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，∴當(dāng)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)， .

（ⅱ）當(dāng)， ，若時(shí)， 恒成立，

只需 .令得或，

， 函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

又∵ ，

，即.

∴， .