同步練習江蘇九年級數學蘇科版
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6. 在橫線上填入適當的常數，使下列等式成立：(1) $x^{2}-8x + \underline{\quad\quad}=(x - \underline{\quad\quad})^{2}$；(2) $x^{2}-\frac{1}{4}x + \underline{\quad\quad}=(x - \underline{\quad\quad})^{2}$。
答案：(1) $x^{2}-8x + 16=(x - 4)^{2}$；(2) $x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=(x - \frac{1}{8})^{2}$。
7. 若 $x^{2}+2mx + 49$ 是完全平方式，則 $m$ 的值等于 $\underline{\quad\quad}$。
答案：因為 $x^{2}+2mx + 49=x^{2}+2mx+7^{2}$ 是完全平方式，所以 $2m=\pm14$，解得 $m = \pm7$。
8. 由 $x^{2}-4x - 4 = 0$，可得（ ）。A. $(x - 2)^{2}=0$ B. $(x - 2)^{2}=4$ C. $(x - 2)^{2}=6$ D. $(x - 2)^{2}=8$
答案：對 $x^{2}-4x - 4 = 0$ 進行配方，$x^{2}-4x=4$，$x^{2}-4x + 4=4 + 4$，即 $(x - 2)^{2}=8$，答案選D。
9. 若 $x^{2}-4x + p=(x + q)^{2}$，則 $p$、$q$ 的值分別是（ ）。A. $4$、$2$ B. $4$、$-2$ C. $-4$、$2$ D. $-4$、$-2$
答案：因為 $(x + q)^{2}=x^{2}+2qx+q^{2}$，又 $x^{2}-4x + p=(x + q)^{2}$，所以 $2q=-4$，$q=-2$，$p = q^{2}=4$，答案選B。
10. 用配方法解下列方程：(1) $x^{2}+2x - 1 = 0$；(2) $x^{2}-4x - 3 = 0$；(3) $y^{2}-6y + 6 = 0$；(4) $x^{2}-2\sqrt{3}x + 3 = 0$。
答案：(1) $x^{2}+2x - 1 = 0$，移項得 $x^{2}+2x=1$，配方得 $x^{2}+2x + 1=1 + 1$，即 $(x + 1)^{2}=2$，$x+1=\pm\sqrt{2}$，解得 $x_{1}=-1+\sqrt{2}$，$x_{2}=-1-\sqrt{2}$。
(2) $x^{2}-4x - 3 = 0$，移項得 $x^{2}-4x=3$，配方得 $x^{2}-4x + 4=3 + 4$，即 $(x - 2)^{2}=7$，$x - 2=\pm\sqrt{7}$，解得 $x_{1}=2+\sqrt{7}$，$x_{2}=2-\sqrt{7}$。
(3) $y^{2}-6y + 6 = 0$，移項得 $y^{2}-6y=-6$，配方得 $y^{2}-6y + 9=-6 + 9$，即 $(y - 3)^{2}=3$，$y - 3=\pm\sqrt{3}$，解得 $y_{1}=3+\sqrt{3}$，$y_{2}=3-\sqrt{3}$。
(4) $x^{2}-2\sqrt{3}x + 3 = 0$，配方得 $(x-\sqrt{3})^{2}=0$，解得 $x_{1}=x_{2}=\sqrt{3}$。
11. 用配方法解下列方程：(1) $x^{2}-\frac{5}{3}x - 1 = 0$；(2) $y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=0$；(3) $x^{2}+4x + 2 = 0$；(4) $(x + 1)(x + 8)=-12$。
答案：(1) $x^{2}-\frac{5}{3}x - 1 = 0$，移項得 $x^{2}-\frac{5}{3}x=1$，配方得 $x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=1+\frac{25}{36}$，即 $(x-\frac{5}{6})^{2}=\frac{61}{36}$，$x-\frac{5}{6}=\pm\frac{\sqrt{61}}{6}$，解得 $x_{1}=\frac{5 + \sqrt{61}}{6}$，$x_{2}=\frac{5-\sqrt{61}}{6}$。
(2) $y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=0$，移項得 $y^{2}-\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$，配方得 $y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$，即 $(y - \frac{1}{4})^{2}=-\frac{23}{16}$，因為 $-\frac{23}{16}<0$，所以方程無實數根。
(3) $x^{2}+4x + 2 = 0$，移項得 $x^{2}+4x=-2$，配方得 $x^{2}+4x + 4=-2 + 4$，即 $(x + 2)^{2}=2$，$x + 2=\pm\sqrt{2}$，解得 $x_{1}=-2+\sqrt{2}$，$x_{2}=-2-\sqrt{2}$。
(4) 先將 $(x + 1)(x + 8)=-12$ 展開得 $x^{2}+9x+8=-12$，移項得 $x^{2}+9x=-20$，配方得 $x^{2}+9x+\frac{81}{4}=-20+\frac{81}{4}$，即 $(x+\frac{9}{2})^{2}=\frac{1}{4}$，$x+\frac{9}{2}=\pm\frac{1}{2}$，解得 $x_{1}=-4$，$x_{2}=-5$。
12. 閱讀：解方程 $x^{2}-\vert x\vert - 2 = 0$。解：①當 $x\geq0$ 時，原方程可化為 $x^{2}-x - 2 = 0$，解得 $x_{1}=2$，$x_{2}=-1$（不合題意，舍去）。②當 $x<0$ 時，原方程可化為 $x^{2}+x - 2 = 0$，解得 $x_{1}=-2$，$x_{2}=1$（不合題意，舍去）。$\therefore$ 原方程的根是 $x_{1}=2$，$x_{2}=-2$。仿照上例，解方程 $x^{2}-\vert x - 1\vert - 1 = 0$。
答案：①當 $x - 1\geq0$，即 $x\geq1$ 時，原方程可化為 $x^{2}-(x - 1)-1 = 0$，即 $x^{2}-x=0$，$x(x - 1)=0$，解得 $x_{1}=0$（不合題意，舍去），$x_{2}=1$。
②當 $x - 1<0$，即 $x<1$ 時，原方程可化為 $x^{2}+(x - 1)-1 = 0$，即 $x^{2}+x - 2 = 0$，$(x + 2)(x - 1)=0$，解得 $x_{1}=-2$，$x_{2}=1$（不合題意，舍去）。所以原方程的根是 $x_{1}=1$，$x_{2}=-2$。
13. 已知關于 $x$ 的方程 $x^{2}+2(2 - m)x + 3 - 6m = 0$。(1) 若 $x = 1$ 是此方程的一個根，求 $m$ 的值及方程的另一個根。(2) 試說明：無論 $m$ 取何值，此方程總有實數根。
答案：(1) 把 $x = 1$ 代入方程 $x^{2}+2(2 - m)x + 3 - 6m = 0$ 得：$1+2(2 - m)+3 - 6m = 0$，$1 + 4-2m+3 - 6m = 0$，$8 - 8m = 0$，解得 $m = 1$。原方程為 $x^{2}+2x - 3 = 0$，分解因式得 $(x + 3)(x - 1)=0$，所以另一個根是 $x=-3$。
(2) 方程 $x^{2}+2(2 - m)x + 3 - 6m = 0$ 的判別式 $\Delta=[2(2 - m)]^{2}-4(3 - 6m)=4(4 - 4m+m^{2})-12 + 24m=16-16m+4m^{2}-12 + 24m=4m^{2}+8m + 4=4(m + 1)^{2}$，因為 $(m + 1)^{2}\geq0$，所以 $4(m + 1)^{2}\geq0$，即無論 $m$ 取何值，此方程總有實數根。
