Question

（2013•蘭州一模）若x₁，x₂是關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個根，則方程的兩個根x₁，x₂和系數a，b，c有如下關系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，把它們稱為一元二次方程根與系數關系定理，請利用此定理解答一下問題：
已知x₁，x₂是一員二次方程（m-3）x²+2mx+m=0的兩個實數根．
（1）是否存在實數m，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立？若存在，求出m的值，若不存在，請你說明理由；
（2）若|x₁-x₂|=

3

，求m的值和此時方程的兩根．

Answer 1

分析：（1）先根據根的判別式得到m的取值范圍為m≥0且m≠3，再根據根與系數的關系得x₁+x₂=-

2m

m-3

，x₁•x₂=

m

m-3

，然后利用-x₁+x₁x₂=4+x₂得

m

m-3

=4-

2m

m-3

，再解關于m的方程即可；
（2）先利用完全平方公式變形得到（x₁-x₂）²=3，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=3，再把x₁+x₂=-

2m

m-3

，x₁•x₂=

m

m-3

代入得到（-

2m

m-3

）²-4×

m

m-3

=3，解得m₁=1，m₂=9，
然后分別把m的值代入原方程，并且利用公式法解方程．

解答：解：（1）存在．
∵x₁，x₂是一元二次方程（m-3）x²+2mx+m=0的兩個實數根，
∴m-3≠0且△=4m²-4（m-3）•m≥0，
∴m的取值范圍為m≥0且m≠3，
根據根與系數的關系得x₁+x₂=-

2m

m-3

，x₁•x₂=

m

m-3

，
∵-x₁+x₁x₂=4+x₂，
∴x₁x₂=4+x₁+x₂，
∴

m

m-3

=4-

2m

m-3

，
∴m=12；

（2）∵|x₁-x₂|=

3

，
∴（x₁-x₂）²=3，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=3，
∴（-

2m

m-3

）²-4×

m

m-3

=3，解得m₁=1，m₂=9，
當m=1時，原方程變形為2x²-2x-1=0，解得x₁=

1+ 3

2

，x₂=

1- 3

2

；
當m=9時，原方程變形為2x²+6x+3=0，解得x₁=

-3+ 3

2

，x₂=

-3- 3

2

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判別式．