Question

【題目】如圖，某地有一座圓弧形拱橋，

（1）如圖1，請用尺規作出圓弧所在圓的圓心O；

（2）如圖2，過點O作OC⊥AB于點D，交圓弧于點C，CD＝2.4 m．橋下水面寬度AB為7.2 m，現有一艘寬3 m、船艙頂部為方形并高出水面2 m的貨船要經過拱橋，請通過計算說明此貨船能否順利通過這座拱橋.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）此貨船能順利通過這座拱橋．

【解析】

（1）根據垂徑定理，作弦AH和HB，然后作它們的垂直平分線，則兩垂直平分線的交點為圓心O．

(2) 連接ON，OB，通過求距離水面2米高處即ED長為2時，橋有多寬即MN的長與貨船頂部的3米做比較來判定貨船能否通過（MN大于3則能通過，MN小于等于3則不能通過）．先根據半弦，半徑和弦心距構造直角三角形求出半徑的長，再根據Rt△OEN中勾股定理求出EN的長，從而求得MN的長．

解：（1）

（2）如圖，連接ON，OB.

∵OC⊥AB，∴D為AB的中點．

∵AB＝7.2 m，

∴BD＝AB＝3.6 m.

設OB＝OC＝ON＝r m，則OD＝(r－2.4)m.

在Rt△BOD中，根據勾股定理，得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9，

∴OD＝r－2.4＝1.5(m)．

∵船寬3 m，根據垂徑定理，得EN＝DF＝1.5 m，

∴OE＝＝＝3.6(m)，

∴FN＝DE＝OE－OD＝2.1m＞2 m，

∴此貨船能順利通過這座拱橋．