Question

【題目】問題發現：如圖，在中，，為邊所在直線上的動點(不與點、重合)，連結，以為邊作，且，根據，得到，結合，得出，發現線段與的數量關系為，位置關系為；

（1）探究證明：如圖，在和中，，，且點在邊上滑動(點不與點、重合)，連接．

①則線段，，之間滿足的等量關系式為_____；

②求證: ；

（2）拓展延伸：如圖，在四邊形中，．若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）①BC =CE+CD；②見解析；（2）AD＝6．

【解析】

（1）①根據題中示例方法，證明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE，從而得出BC=CE+CD；

②根據△BAD≌△CAE，得出∠ACE＝45°，從而得到∠BCE＝90°，則有DE2＝CE2+CD2，再根據可得結論；

（2）過點A作AG⊥AD，使AG=AD，連接CG、DG，可證明△BAD≌△CAG，得到CG＝BD，在直角△CDG中，根據CD的長求出DG的長，再由DG和AD的關系求出AD.

解：（1）①如圖2，在Rt△ABC中，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，

∴ BC=BD+CD=CE+CD，

故答案為：BC=BD+CD=CE+CD．

②∵△BAD≌△CAE，

∴∠B＝∠ACE＝45°，

∵∠ACB＝45°，

∴∠BCE＝45°+45°＝90°，

∴DE2＝CE2+CD2，

∵AD＝AE，∠DAE＝90°，

∴，

∴2AD2＝BD2+CD2；

（3）如圖3，

過點A作AG⊥AD，使AG=AD，連接CG、DG，

則△DAG是等腰直角三角形，

∴∠ADG＝45°，

∵∠ADC＝45°，

∴∠GDC＝90°，

同理得：△BAD≌△CAG，

∴CG＝BD＝13，

在Rt△CGD中，∠GDC＝90°，

，

∵△DAG是等腰直角三角形，

∴，

∴AD＝＝6．