Question

【題目】如圖所示，在中，，，，點為內一點，連接、、，且．

（1）以點為旋轉中心，將繞點順時針方向旋轉60°，得到（得到、的對應點分別為點、），按要求畫圖（保留作圖痕跡）．

（2）在（1）的條件下，求的度數及的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠A'BC=90°，．

【解析】

（1）在Rt△ABC中，易得∠ABC=30°，由于旋轉角為60°，易得旋轉后的A'B⊥CB．故過點B作BC的垂線，截取A'B=AB，再以點A'為圓心，以AO為半徑畫弧，以點B為圓心，以BO為半徑畫弧，兩弧相交于點O'，連接A'O'、BO'，即可得到△A'O'B；

（2）根據旋轉的性質求出A'B的長以及△BOO'是等邊三角形，根據等邊三角形的三條邊都相等可得BO=OO'，等邊三角形三個角都是60°求出∠BOO'=∠BO'O=60°，然后求出C、O、A'、O'四點共線，再利用勾股定理列式求出A'C，從而得到OA+OB+OC=A'C．

（1）∵∠C=90°，AC=1，BC，

∴AB=，

∴AB=2AC，

∴∠ABC=30°．

∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，

∠A'BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，

∴A'B⊥CB．

過點B作BC的垂線，截取A'B=AB，

再以點A'為圓心，以AO為半徑畫弧，

以點B為圓心，以BO為半徑畫弧，

兩弧相交于點O'，連接A'O'、BO'，

即△A'O'B如圖所示；

（2））∵∠C=90°，AC=1，BC，

∴AB=，

∴AB=2AC，

∴∠ABC=30°．

∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△A'O'B，

∴A'B=AB=2，BO=BO'，A'O'=AO，∠ABA′=60°，

∴△BOO'是等邊三角形，∠A'BC=∠ABC+∠ABA′=30°+60°=90°，

∴BO=OO'，∠BOO'=∠BO'O=60°．

∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°=∠A'O'B，

∴∠COB+∠BOO'=∠BO'A'+∠BO'O=120°+60°=180°，

∴C、O、A'、O'四點共線．

在Rt△A'BC中，A'C，

∴OA+OB+OC=A'O'+OO'+OC=A'C．