Question

【題目】如圖，為的直徑，為上不同于的兩點，，連接.過點作，垂足為，直線與相交于點．

（1）求證：為的切線；

（2）當，時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）9.

【解析】

（1）連接OC．先根據等邊對等角及三角形外角的性質得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，則OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根據切線的判定即可證明CF為⊙O的切線；

（2）連結AD．先解Rt△BEF，得出BE=BFsinF=3，由OC∥BE，得出△FBE∽△FOC，則，設⊙O的半徑為r，由此列出方程，解方程求出r的值，由AB為⊙O直徑，得出AB=15，∠ADB=90°，再根據三角形內角和定理證明∠F=∠BAD，則由sin∠BAD=，求出BD的長．

（1）證明：連接OC．

∵OA=OC，

∴∠1=∠2．

又∵∠3=∠1+∠2，

∴∠3=2∠1．

又∵∠4=2∠1，

∴∠4=∠3，

∴OC∥DB．

∵CE⊥DB，

∴OC⊥CF．

又∵OC為⊙O的半徑，

∴CF為⊙O的切線；

（2）解：連結AD．

在Rt△BEF中，∵∠BEF=90°，BF=5，，

∴BE=BFsinF=3．

∵OC∥BE，

∴△FBE∽△FOC，

∴．

設⊙O的半徑為r，

∴，

∴．

∵AB為⊙O直徑，

∴AB=15，∠ADB=90°，

∵∠4=∠EBF，

∴∠F=∠BAD，

∴，

∴，

∴BD=9．