Question

【題目】我們定義：將一個圖形繞某一定點按某一方向旋轉一定的角度（旋轉角度小于等于360°），并且各邊長伸縮相同的倍數得到另一個圖形，如圖①，這種變換叫做旋轉伸縮變換，其中定點叫做旋轉中心，對應邊的比叫做伸縮比．

（特例感知）

（1）如圖①，是等邊三角形，繞點A作旋轉伸縮變換得，連接，

①若，則旋轉角的度數為________；

②若伸縮比為2∶1，則線段的數量關系為________；

③直線與直線所夾的銳角為________；

（探究證明）

（2）如圖②，在中，，將繞點A逆時針方向旋轉一定的角度，作旋轉伸縮變換得到，連接、，直線與直線相交于點P，請判斷的值及的度數，并說明理由；

（問題解決）

（3）在（2）的條件下，若，求當點與點P重合時，的長．

Answer 1

【答案】（1）①50°或310°；②；③60°；（2），理由見解析；（3）的長為或．

【解析】

解：

【解法提示】①如題圖①，∵，

∴．

∴旋轉角的度數為50°或310°；

②∵，

∴．

∵，

∴．

∴；

③如圖①，延長，交于點P，交于點O，

∵，

∴．

又∵，

∴．

∴．

即直線與直線所夾的銳角為60°；

圖①

（2）；

理由如下：

如圖②，在中，，

∴．

由旋轉伸縮變換得：，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

又∵，

∴．

∴，即．

圖②

（3）①當點與點P重合時，如圖③，

圖③

由（2）知，

∴設，則．

在中，，

∴．

中，，

∴．

在中，由勾股定理得：

，

解得（舍去），

∴；

②當點與點P重合時，如圖④，

圖④

由（2）知，，

∴設，則．

中，，

∴．

在中，由勾股定理得：

，

解得（舍去），，

∴．

綜上所述，當點與點P重合時，的長為或．