【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線
與x軸交于點A（3,0）和點B，與y軸相交于點C（0,3），拋物線的頂點為點D．
（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；
（2）聯結AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；
（3）如果點P是原拋物線上的一點，且∠PAB=∠DAC，將原拋物線向右平移m個單位（m>0），使平移后新拋物線經過點P，求平移距離．
【答案】(1)
，（-1，4）； (2)
；(3) 平移距離為
或
【解析】
（1）利用待定系數法構建方程組即可解決問題．
（2）利用勾股定理求出AD，CD，AC，證明∠ACD=90°即可解決問題．
（3）過點P作x軸的垂線，垂足為H．設P（a，-a2-2a+3），可得PH=|-a2-2a+3|，AH=a+3，由∠PAB=∠DAC，推出tan∠PAB=tan∠DAC=
．接下來分兩種情形，構建方程求解即可．
解：（1）拋物線
交
軸于點
，交
軸于點
，
根據題意，得：
解得
,
.
∴拋物線的表達式是，頂點
的坐標為（-1，4）；
（2）∵A（-3，0），C（0，3），D（-1，4），
∴
，
，
，
∵
∴
，
∴
，
∴
；
（3）過點
作軸垂線，垂足為點
，
∵點是拋物線上一點，
∴設
，可得
，
，
∵
，
∴
；
（ⅰ）
， 解得
（舍去），
，
∴點的坐標為
，
過點作軸平行線與拋物線交于點
，則點與點關于直線
對稱，
由拋物線的對稱性可得
，
∴平移距離為；
（ⅱ）
，解得
（舍去），
，
∴點的坐標為
，
過點作軸平行線與拋物線交于點
，則點與點關于直線對稱，
由拋物線的對稱性可得
，
∴平移距離為，
綜上所述，平移距離為或．
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，A（t，0），B（t+4，0），線段AB的中點為C，若平面內存在一點P使得∠APC或者∠BPC為直角（點P不與A，B，C重合），則稱P為線段AB的直角點．
（1）當t=0時，
①在點P1（
，0），P2（，
），P3（
，﹣）中，線段AB的直角點是 ；
②直線y=
x+b上存在四個線段AB的直角點，直接寫出b取值范圍；
（2）直線y=x+1與x，y軸交于點M，N．若線段MN上只存在兩個線段AB的直角點，直接寫出t取值范圍．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】我們定義：將一個圖形繞某一定點按某一方向旋轉一定的角度（旋轉角度小于等于360°），并且各邊長伸縮相同的倍數得到另一個圖形，如圖①，這種變換叫做旋轉伸縮變換，其中定點叫做旋轉中心，對應邊的比叫做伸縮比．
（特例感知）
（1）如圖①，
是等邊三角形，繞點A作旋轉伸縮變換得
，連接
，
①若
，則旋轉角的度數為________；
②若伸縮比為2∶1，則線段的數量關系為________；
③直線
與直線
所夾的銳角為________；
（探究證明）
（2）如圖②，在
中，
，將繞點A逆時針方向旋轉一定的角度，作旋轉伸縮變換得到，連接、，直線與直線相交于點P，請判斷
的值及
的度數，并說明理由；
（問題解決）
（3）在（2）的條件下，若
，求當點
與點P重合時，的長．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】王老板經營甲、乙兩個服裝店鋪，每個店鋪各在同一段時間內都能售出A、B兩種款式的服裝合計30件且甲店售1件A款和2件B款可獲得110元，售2件A和1件B可獲得100元，乙店每售出一件A款獲得27元，1件B款獲利36元，
（1）問在甲店售出1件A和1件B分別獲利多少元？
（2）某日王老板進了A款式的服裝35件，B款式的服裝25件，如果分配給甲店的A款式的服裝x件，①求王老板獲取的利潤y（元）與x（件）之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
②由于甲、乙兩個店鋪所處的地段原因，王老板想在保證乙店利潤不小于950元的前提下，使得自己獲取的利潤最大，請你幫王老板設計一種最佳分配方案，并求最大的總利潤是多少？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】（問題與情境）
在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“三角形紙片的旋轉”為主題開展數學活動．如圖①，現有矩形紙片
．連接
，將矩形
沿剪開，得到
和
．保持位置不變，將從圖①的位置開始，繞點B按逆時針方向旋轉，旋轉角為
．
（操作發現）
（1）在旋轉過程中，連接
，則當
時，
的值是________；
（2）如圖②，將圖①中的旋轉，當點E落在
延長線上時停止旋轉，求出此時的值；
（實踐探究）
（3）如圖③，將圖②中的繼續旋轉，當
時停止旋轉，直接寫出此時
的度數，并求出
的面積．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，將矩形ABCD繞點C旋轉，點A、B、D的對應點分別為A’ 、B’、 D’，當A’ 落在邊CD的延長線上時，邊A’ D’ 與邊 AD的延長線交于點F，聯結CF，那么線段CF的長度為____．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，CD是⊙O的切線，D為切點，OF⊥AD于點E，交CD于點F．
（1）求證：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC=
，BD=8，求EF的長．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】列方程或方程組解應用題：
某校初二年級的同學乘坐大巴車去北京展覽館參觀“砥礪奮進的五年”大型成就展，北京展覽館距離該校12千米，1號車出發3分鐘后，2號車才出發，結果兩車同時到達，已知2號車的平均速度是1號車的平均速度的1.2倍，求2號車的平均速度．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如果順次連接四邊形的各邊中點得到的四邊形是矩形，那么原來四邊形的對角線一定滿足的條件是（ ）
A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直平分
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