Question

【題目】如圖：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在BE的延長線上，AD⊥BE。

（1）求證：∠DAE+∠ABE=45°

（2）若BE＝6，求AD的長。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AD＝3．

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質和直角三角形的兩個銳角互余的性質進行證明；

（2）延長AD、BC交于點F，由BD⊥AD且BD平分∠ABC 可得AD＝FD，再根據∠FAC＋∠AED＝90°，∠CBE＋∠CEB＝90°，進一步證明△AFC≌△BEC，則可得AF＝BE，從而得到AD＝BE．

（1）證明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

又∵BE平分∠ABC交AC于E，

∴∠CBE＝∠ABE，

∵AD⊥BE，

∴∠DAE＋∠CAB＋∠ABE＝90°，即∠DAE＋∠ABE＋45°＝90°，

∴∠DAE＋∠ABE＝45°；

（2）解：如圖，延長AD、BC交于點F，

∵BD⊥AD且BD平分∠ABC，

∴AD＝FD，

∵∠FAC＋∠AED＝90°，∠CBE＋∠CEB＝90°，

∴∠FAC＝∠CBE，

在△AFC和△BEC中，，

∴△AFC≌△BEC（ASA），

∴AF＝BE，

∴AD＝AF＝BE＝3．