Question

【題目】基礎探究：如圖1，在,中，，，點、都在邊上，且，連接、．

（1）求證：．

（2）如圖2，以為對角線的四邊形中，，，將沿折疊，得到，點的對應點恰好落在邊上，若，，則四邊形的面積為________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）由AC=AB，∠CAB=60°可證明△ABC是等邊三角形，可得∠A=∠B=60°，CA=CB，利用SAS可證明△CAD≌△CBE，可得CD=CE，根據等腰三角形的性質即可得出∠CDE=∠CED；

（2）如圖，過點A作CB⊥AE于B，根據折疊的性質可得△ACF≌△ACD，可得CF=CD，∠DAC=∠FAC=60°，S△ACF=S△ACD，根據等腰三角形“三線合一”的性質可得BD=DE=，可得AB的長，利用∠DAC的三角函數可求出CB的長，根據S四邊形AECF= 2S△ACD+S△ADE即可得答案．

（1），

是等邊三角形

，

在△CAD和△CBE中，，

∴△CAD≌△CBE，

∴CD=CE，

∴∠CDE=∠CED．

（2）如圖，過點C作CB⊥AE于B，

∵將沿折疊，得到，點的對應點恰好落在AE邊上，

∴△ACF≌△ACD，

∴CF=CD，∠DAC=∠FAC=60°，S△ACF=S△ACD，

∵CE=CF，

∴CD=CE，

∵CB⊥DE，DE=1，

∴BD=BE=DE=，

∵AD=3，

∴AB=AD+BD=，

∴BC=AB·tan∠DAC=×tan60°=，

∴S四邊形AECF= 2S△ACD+S△ADE=2×AD·BC+DE·BC=，

故答案為：