Question

【題目】如圖，四邊形中，對角線、相交于點，，，且．

（1）求證，四邊形是矩形；

（2）若，．求的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見詳解；（2）12

【解析】

(1)根據平行四邊形的判定定理得到四邊形ABCD是平行四邊形，根據三角形的外角的性質得到∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，求得∠DAO=∠ADO，推出AC=BD，于是得到四邊形ABCD是矩形；
(2)根據，設AB=3x，則AD=4x,求出x的值，再求的面積即可.

(1)證明：∵AO=OC，BO=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴AO=DO，
∴AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形；
(2)解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴BD=AC=10，
∵，
∴設AB=3x，則AD=4x,
∴(3x)2+(4x)2=102，
解得x=2或x=-2(舍去)
∴AB=6，AD=8

∴S△ABO=S△ABD=××6×8=12．