Question

【題目】某公司經銷的一種產品每件成本為40元，要求在90天內完成銷售任務．已知該產品90天內每天的銷售價格與時間（第x天）的關系如下表：

時間（第x天）	1≤x＜50	50≤x≤90
	x+50	90

任務完成后，統計發現銷售員小王90天內日銷售量p（件）與時間（第x天）滿足一次函數關系p＝﹣2x+200．設小王第x天銷售利潤為W元．

（1）直接寫出W與x之間的函數關系式，井注明自變量x的取值范圍；

（2）求小生第幾天的銷售量最大？最大利潤是多少？

（3）任務完成后，統計發現平均每個銷售員每天銷售利潤為4800公司制定如下獎勵制度：如果一個銷售員某天的銷售利潤超過該平均值，則該銷售員當天可獲得200元獎金．請計算小王一共可獲得多少元獎金？

Answer 1

【答案】（1）；（2）小王第45天的銷售利潤最大，最大利潤為6050元；（3）小王一共可獲得6200元獎金.

【解析】

（1）依據題意銷售利潤=銷售量×（售價-進價）易得出銷售利潤為W（元）與x（天）之間的函數關系式；

（2）依據（1）中函數的增減性求得最大利潤；

（3）根據銷售利潤為W（元）與x（天）之間的函數關系式，求出利潤超過4800元的天數即可求得可獲得的獎金金額.

（1）依題意：，

整理得；

（2）①當1≤x＜50時，W＝﹣2x2+180x+2000＝﹣2（x﹣45）2+6050，

∵﹣2＜0，

∴拋物線開口向下，

∴當x＝45時，W有最大值為6050；

②當50≤x≤90時，W＝﹣100x+10000，

∵﹣100＜0，

∴W隨x的增大而減小，

∴當x＝50時，W有最大值為5000，

∵6050＞5000，

∴當x＝45時，W的值最大，最大值為6050，

即小王第45天的銷售利潤最大，最大利潤為6050元；

（3）①當1≤x＜50時，令W＝4800，得W＝﹣2（x﹣45）2+6050＝4800，

解得x1＝20，x2＝70，

∴當W＞4800時，20＜x＜70，

∵1≤x＜50，

∴20＜x＜50；

②當50≤x≤90時，令W＞4800，W＝﹣100x+10000＞4800，

解得x＜52，

∵50≤x≤90，

∴50≤x＜52，

綜上所述：當20＜x＜50時，W＞4800，即共有51﹣21+1＝31天的銷售利潤超過4800元，

∴可獲得獎金200×31＝6200元，

即小王一共可獲得6200元獎金.