Question

【題目】如圖，已知矩形，點是對角線上一點，連結，作，交于，

（1）若，則________________．

（2）連結若，則________________．

Answer 1

【答案】 1

【解析】

（1）過E點作AB的垂線，由正方形性質可得，解可得，再證明，從而可得FG=EH，進而求出，即可求出比值．

（2）由，可得，而，故FC垂直BD，有BEFC四點共圓而且FC為直徑，由垂徑定理可推出，進而可得BE=BC，再由30°直角三角形性質求出,可得DE=BC，從而計算比值．

解：（1）過E點作AB的垂線，垂足為G，交CD與H點，

∴四邊形DBCH為矩形，

∴BG=CH，

在矩形中，，

∴矩形是正方形，

∴，

∴和均為等腰直角三角形，即：GE=BE、DH=DH，

∴ ，

又∵，即，

在中，，

∴,

在矩形BCHG中，HC=GB，

∴GE=HC，

又∵∠FEC=∠BGE=∠CHE=90°，

∴∠FEG=∠ECH

∴（ASA）

∴FG=EH，

∴，

∴

（2）以CF為直徑作圓，

∵、∠ABC=90°，

∴B、E在圓上，

又∵，即，

∴，，

∴

又∵，

∴，

又∵FC是直徑，

∴CF垂直平分BE，

∴，

∴，

∴,

∴．

故答案為：（1）；（2）1．