Question

【題目】如圖，在邊長為的正方形中，動點分別以相同的速度從兩點同時出發向點和點運動(任何一個點到達即停止)，連接與交于點，過點作交于點交于點，連接，則線段的最小值為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由正方形的性質及條件可證明△ABE≌△BCF，即可得∠BAE＝∠CBF，再根據∠BAE＋∠BEA＝90°，可得∠CBF＋∠BEA＝90°，可得出∠APB＝90°，進而得到點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，設AB的中點為G，連接CG交弧于點P，此時CP的長度最小，最后在Rt△BCG中，根據勾股定理，求出CG的長度，再求出PG的長度，即可求出線段CP的最小值，即可得到線段的最小值．

解：∵動點F，E的速度相同，

∴DF＝CE，

又∵CD＝BC，

∴CF＝BE，

又∵AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠BAE＝∠CBF，

∵∠BAE＋∠BEA＝90°，

∴∠CBF＋∠BEA＝90°，

∴∠APB＝90°，

∴點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，

設AB的中點為G，連接CG交弧于點P，此時CP的長度最小，

在Rt△BCG中，CG＝，

∵PG＝AB＝，

∴CP＝CGPG＝，

易得四邊形NCMP是矩形，

∴MN＝CP，

∴線段MN的最小值為

故答案為：．