Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點D為AB的中點，M，N分別在BC，AC上，且BM=CN現有以下四個結論：

①DN=DM； ② ∠NDM=90°； ③ 四邊形CMDN的面積為4； ④△CMN的面積最大為2.

其中正確的結論有（ ）

A. ①②④； B. ①②③； C. ②③④； D. ①②③④.

Answer 1

【答案】D

【解析】連接CD，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點D為AB的中點，

∴∠B=∠NCD=45°，CD=BD，∠CDB=90°，S△CDB=S△ABC=·AC·BC==4 ，

又∵BM=CN，

∴△DBM≌△DCN，

∴DN=DM，∠CDN=∠DBM，S△CDN=S△DBM，

∴∠DMN=∠CDN+∠CDM=∠CDM+∠BDM=∠CDB=90°，

S四邊形CMDN=S△CDN+S△CDM= S△BDM+S△CDM=S△CBD=4.

∵S△CMN+S△DMN= S四邊形CMDN=4，

∴當S△DMN最小時，S△CMN的面積最大，

∴當DM⊥BC時，DM=DN=2，此時S△DMN最小=2，

∴此時，S△CMN的面積最大=4-2=2.

綜上所述，上述四個結論全都正確.

故選D.