Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于點D，延長DB至點F，使BF=BD連接AF．

（1）求證：AF=CD．

（2）若CE平分∠ACB交AB于點E，試猜想AC，AF，AE三條線段之間的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) AC=AF+AE，證明見解析

【解析】

(1)取AC的中點E，連接DE，根據題目已知條件可以證得△ABD≌△AED，再利用全等三角形的性質，可以證得△AFB≌△CDE，即可得出結論；

(2) 在AC上取一點M，使得AM=AE，根據AD是∠BAC的角平分線，CE是∠ACB的角平分線，可以得出∠AOE=60°，根據條件可以證得△AEO≌△AMO，利用全等三角形的性質可以證得△COD≌△COM，故可以得出結果．

(1)證明：如圖所示，取AC的中點E，連接DE，

∵AC=2AB，

∴AB=AE=EC，

∵AD是∠BAC的角平分線，

∴∠BAD=∠DAC，

在△ABD和△AED中

∴△ABD≌△AED，

∴∠ABD=∠AED，DB=DE，

∴∠ABF=∠DEC，

∵FB=BD，

∴FB=DE，

在△AFB和△CDE中

△AFB≌△CDE，

∴AF=DC．

(2)猜想：AC=AF+AE，

證明：如圖所示，在AC上取一點M，使得AM=AE

∵AD是∠BAC的角平分線，CE是∠ACB的角平分線，

∴∠BAD=∠DAC，∠ACE=∠ECB，

∵∠ABC=60°，

∴∠BAC+∠ACB=120°，

∴∠ACE+∠OAC=60°，

∴∠AOC=120°，

∴∠AOE=60°，

在△AEO和△AMO中

∴△AEO≌△AMO，

∴∠AOE=∠AOM=60°，

∴∠MOC=60°，

∵∠AOE=∠DOC，

∴∠DOC=60°，

在△COD和△COM中

∴△COD≌△COM，

∴CM=CD，

由題(1)知CD=AF，

∴AF=CM，

∴AC=AM+MC=AE+AF．