Question

【題目】學習了三角形全等的判定方法（即SSS，SAS，ASA，AAS）和直角三角形全等的判定方法（即HL）后，我們繼續對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究．

（初步思考）

我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后對∠B進行分類，可以分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究．

（深入探究）

第一種情況：當∠B為銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．

（1）如圖，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是銳角，請你用尺規在圖中確定點D，使△DEF和△ABC不全等（不寫作法，保留作圖痕跡）；

第二種情況：當∠B為直角時，△ABC≌△DEF．

（2）如圖，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據____，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第三種情況：當∠B為鈍角時，△ABC≌△DEF．

（3）如圖，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．

Answer 1

【答案】(1)圖見解析；(2)HL；(3)證明見解析

【解析】

(1)以點C為圓心，AC的長度為半徑畫弧，與AB的交點為點D，連接CD即可得出；

(2)根據題目條件可利用HL證明Rt△ABC≌Rt△DEF；

(3) 過點C作CM⊥AB的延長線于M，過點F作FN⊥DE的延長線于N，先證得△CBM≌△FEN，再證明△ACM≌△DFN，最后可得到△ABC≌△DEF．

解：(1)如圖所示：

；

(2)在Rt△ABC和Rt△DEF中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），

故答案為：HL；

(3)證明：過點C作CM⊥AB的延長線于M，過點F作FN⊥DE的延長線于N，

∵∠ABC=∠DEF，

∴∠CBM=∠FEN，

在△CBM和△FEN中，

，

∴△CBM≌△FEN，

∴CM=FN，BM=EN，

在Rt△ACM和Rt△DFN中，

，

∴Rt△ACM≌Rt△DFN（HL），

∴AM=DN，

∴DE=AB，

在△ABC和△DFE中，

，

∴△ABC≌△DEF.