Question

【題目】已知：在中，．

（1）如圖1，是邊上兩點，， 求的度數．

（2）點是邊上兩動點(不與重合)， 點在點左側，且，點關于直線的對稱點為，連接．

①依題意將圖2補全．

②小明通過觀察和實驗，提出猜想：在點運動的過程中，始終有為等腰直角三角形，他把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成以下證明猜想的思路：要想證明為等腰直角三角形，只需證．

請參考上面的思路，幫助小明證明△APM 為等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①圖見解析，②證明見解析

【解析】

（1）首先證明∠BAP=∠CAQ，再根據三角形的外角的性質計算即可；
（2）①根據要求畫出圖形即可；
②只要證明AP=AM，∠PAM=90°即可證明△APM 為等腰直角三角形；

解：（1）∵為等腰直角三角形，

∴

∴

∵．

∴；

（2）①補全圖形，如圖所示，

②證明：如圖，連接．

∵為等腰直角三角形，

∴

又∵，

∴．

∴．

∴△APB≌△AQC（AAS）

∴，

又．

又∵，

∴

∴為等腰直角三角形.