Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線與x軸交于點A（3,0）和點B，與y軸相交于點C（0,3），拋物線的頂點為點D．

（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；

（2）聯結AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；

（3）如果點P是原拋物線上的一點，且∠PAB=∠DAC，將原拋物線向右平移m個單位（m>0），使平移后新拋物線經過點P，求平移距離．

Answer 1

【答案】(1)，（-1，4）； (2) ；(3) 平移距離為或

【解析】

（1）利用待定系數法構建方程組即可解決問題．
（2）利用勾股定理求出AD，CD，AC，證明∠ACD=90°即可解決問題．
（3）過點P作x軸的垂線，垂足為H．設P（a，-a2-2a+3），可得PH=|-a2-2a+3|，AH=a+3，由∠PAB=∠DAC，推出tan∠PAB=tan∠DAC=．接下來分兩種情形，構建方程求解即可．

解：（1）拋物線交軸于點，交軸于點，

根據題意，得：

解得,.

∴拋物線的表達式是，頂點的坐標為（-1，4）；

（2）∵A（-3，0），C（0，3），D（-1，4），

∴，

，

，

∵

∴，

∴，

∴；

（3）過點作軸垂線，垂足為點，

∵點是拋物線上一點，

∴設，可得，，

∵，

∴；

（ⅰ）， 解得（舍去），，

∴點的坐標為，

過點作軸平行線與拋物線交于點，則點與點關于直線對稱，

由拋物線的對稱性可得，

∴平移距離為；

（ⅱ），解得（舍去），，

∴點的坐標為，

過點作軸平行線與拋物線交于點，則點與點關于直線對稱，

由拋物線的對稱性可得，

∴平移距離為，

綜上所述，平移距離為或．