Question

【題目】在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中點．E為直線上一動點，連接DE，過點D作DF⊥DE，交直線BC于點F，連接EF．

（1）如圖1，當E是線段AC的中點時，設，求EF的長（用含的式子表示）；

（2）當點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）圖見解析，，證明見解析．

【解析】

（1）先根據中位線定理和線段中點定義可得，，，再根據平行四邊形的性質、矩形的判定與性質可得，從而可得，然后利用勾股定理即可得；

（2）如圖（見解析），先根據平行線的性質可得，，再根據三角形全等的判定定理與性質可得，，然后根據垂直平分線的判定與性質可得，最后在中，利用勾股定理、等量代換即可得證．

（1）∵D是AB的中點，E是線段AC的中點

∴DE為的中位線，且

∴，

∵

∴

∵

∴

∴四邊形DECF為矩形

∴

∴

則在中，；

（2）過點B作AC的平行線交ED的延長線于點G，連接FG

∵

∴，

∵D是AB的中點

∴

在和中，

∴

∴，

又∵

∴DF是線段EG的垂直平分線

∴

∵，

∴

在中，由勾股定理得：

∴．