Question

【題目】兩個全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=1，固定△ABC不動，將△DEF進行如下操作：

（1）操作發現
如圖①，△DEF沿線段AB向右平移（即D點在線段AB內移動），連接DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷變化，但它的面積不變化，請求出其面積．
（2）猜想論證
如圖②，當D點移到AB的中點時，請你猜想四邊形CDBF的形狀，并說明理由．
（3）拓展研究
如圖③，△DEF的D點固定在AB的中點，然后繞D點按順時針方向旋轉△DEF，使DF落在AB的邊上，此時F點恰好與B點重合，連接AE，則sinα= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，∵△DEF沿線段AB向右平移（即D點在線段AB內移動），

∴CF=AD，AC=DF，

∴四邊形ACFD為平行四邊形，

∴AD∥CF，

∴S△DCF=S△BCF=S△ACD，

∴S四邊形CDBF=S△CDB+S△BCF=S△CDB+S△ACD=S△ACB，

在Rt△ACB中，∵∠A=60°，

∴BC= AC= ，

∴S△ABC= ×1× = ，

∴S四邊形CDBF=

（2）解：四邊形CDBF為菱形．理由如下：

如圖2，∵點D為斜邊AB的中點，

∴DC=DA=DB，

∵CF∥AD，CF=AD，

∴CF=BD，CF∥DB，

∴四邊形CDBF為平行四邊形，

而DC=DB，

∴四邊形CDBF為菱形；

（3）
【解析】解：（3）作DH⊥AE于H，如圖，

在Rt△ACB中，∵∠A=60°，

∴AB=2AC=2，

∵點D為AB的中點，

∴AD=BD= AB=1，

∵繞D點按順時針方向旋轉△DEF，使DF落在AB邊上，此時F點恰好與B點重合，

∴∠EFD=90°，EB= ，DE=AB=2，

在Rt△ABE中，AE= = = ，

∵ DHAB= ADEB，

∴DH= = ，

在Rt△EDH中，sinα= = ．

所以答案是 ．

【考點精析】掌握平移的性質和銳角三角函數的定義是解答本題的根本，需要知道①經過平移之后的圖形與原來的圖形的對應線段平行（或在同一直線上）且相等，對應角相等，圖的形狀與大小都沒有發生變化；②經過平移后，對應點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數．