Question

【題目】如圖．AB是⊙O的直徑，E為弦AP上一點，過點E作EC⊥AB于點C，延長CE至點F，連接FP，使∠FPE=∠FEP，CF交⊙O于點D．
（1）證明：FP是⊙O的切線；
（2）若四邊形OBPD是菱形，證明：FD=ED．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OP，

∵OP=OA，

∴∠A=∠APO，

∵EC⊥AB，

∴∠A+∠AEC=90°，

∵∠FPE=∠FEP，∠FEP=∠AEC，

∴∠AEC=∠FPE，

∴∠OPA+∠FPA=90°，

∴OP⊥PF，

∴FP是⊙O的切線

（2）證明：∵四邊形OBPD是菱形，

∴PB=OB，

∵OB=OP，

∴OP=OB=PB，

∴△OPB是等邊三角形，

∴∠B=∠BOP=60°，

∴∠A=30°，

∴∠AEC=∠FEP=60°，

∴∠FPE=∠FEP=60°，

∴△FPE是等邊三角形，

∵PD∥AB，

∴PD⊥EF，

∴FD=ED．

【解析】（1）連接OP，根據等腰三角形的性質得到∠A=∠APO，根據垂直的定義得到∠A+∠AEC=90°，等量代換得到∠AEC=∠FPE，于是得到OP⊥PF，根據切線的判定定理即可得到結論；（2）根據菱形的性質得到PB=OB，推出△OPB是等邊三角形，得到∠B=∠BOP=60°，于是得到△FPE是等邊三角形，根據等邊三角形的性質即可得到結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解菱形的性質(菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半)，還要掌握垂徑定理(垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧)的相關知識才是答題的關鍵．