Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A、D在坐標軸上，其坐標分別為（2，0），（0，4），對角線AC⊥x軸．
（1）求直線DC對應的函數(shù)解析式
（2）若反比例函數(shù)y= （k＞0）的圖象經(jīng)過DC的中點M，請判斷這個反比例函數(shù)的圖象是否經(jīng)過點B，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示：過點D作DE⊥AC，垂足為E．

∵DE⊥AC，AC∥y軸，

∴∠EDO=90°．

∴∠EDA+∠ODA=90°．

又∵ABCD為矩形，

∴∠CDE+∠ADE=90°．

∴∠CDE=∠ODA．

又∵∠DOA=∠DEC=90°，

∴△DAO∽△DCE．

∴ = ，即 = ，解得EC=1．

∴C（2，5）．

設直線DC的解析式為y=kx+4，將點C的坐標代入得：2k+4=5，解得k= ．

∴直線CD的解析式為y= x+4

（2）解：過點D作DE⊥AC，過點B作BF⊥AC．

∵DE⊥AC，BF⊥AC．

∴∠DEC=∠BFA=90°．

∵DC∥AB，

∴∠DCE=∠FAB．

在△DEC和△BAF中 ，

∴△DEC≌△BAF．

∴DE=BF=2，EC=AF=1．

∴B（4，1）．

∵D（0，4），C（2，5），

∴CD中點M的坐標為（1， ）．

∴k=1× = ．

∵4×1=4≠ ，

∴點B不在反比例函數(shù)圖象上

【解析】過點D作DE⊥AC，垂足為E．先證明△DAO∽△DCE，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得EC=1，從而可求得EC的長，故此可得到點C的坐標，設直線DC的解析式為y=kx+4，將點C的坐標代入求解即可；（2）過點D作DE⊥AC，過點B作BF⊥AC．先證明△DEC≌△BAF，從而可求得點B的坐標，然后再求得反比例反函數(shù)比例系數(shù)k的值，然后根據(jù)點B的坐標是否符合函數(shù)解析式進行判斷即可．
【考點精析】通過靈活運用確定一次函數(shù)的表達式和矩形的性質(zhì)，掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等即可以解答此題．