Question

【題目】如圖所示，已知拋物線經過點三點，點與點關于軸對稱，點是線段上的一個動點，設點的坐標為過點作軸的垂線交拋物線于點，交直線于點．

（1）求該拋物線所表示的二次函數的表達式；

（2）在點運動過程中，是否存在點，使得是直角三角形?若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）連接，將繞平面內某點順時針旋轉，得到，點的對應點分別是點．若的兩個頂點恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點為"和諧點"，請直接寫出"和諧點"的個數和點的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為或；（3）2個，的橫坐標為1或

【解析】

（1）根據點A、B的坐標設交點式解析式，將點C的坐標代入求值即可；

（2）先求出直線BD的解析式，分兩種情況： 或，利用相似三角形分別求出答案即可；

（3）兩個和諧點：OA=1，OC=2，設(x，y)，則(x+2，y-1)，(x,y-1)，

當、在拋物線上時，的橫坐標是1，當、在拋物線上時，的橫坐標是2.

(1)由拋物線過點,可設解析式為將點代人,得,

解得

則拋物線解析式為；

(2)由題意知點坐標為．

設直線解析式為,

將代入,得

解得

∴直線解析式為

若是直角三角形，如圖所示：

分以下兩種情況:

①當時， ，

則，

∵，

∴，

∵,

∴，

∴．

∴．

∴，即

解得．

當時,點均與點重合,不能構成三角形,舍去span>,

∴,點的坐標為

②當時，此時點與點重合， ,

此時，點的坐標為；

綜上,點的坐標為或時，是直角三角形．

(3)兩個和諧點，

∵A(-1，0)，C（0,2），

∴OA=1，OC=2，

設(x，y)，則(x+2，y-1)，(x,y-1)，

當、在拋物線上時，得+1 ，

解得x=1，

∴的橫坐標是1；

當、在拋物線上時，

，

解得x=，

∴的橫坐標為，

綜上，點的橫坐標為1或.