Question

【題目】如圖．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，點P在AB上，AP=10cm，點E從點P出發沿線段PA以2cm/s的速度向點A運動，同時點F從點P出發沿線段PB以1cm/s的速度向點B運動，點E到達點A后立刻以原速度沿線段AB向點B運動，在點E、F運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側，設點E、F運動的時間為t（s）（0＜t＜20）．

（1）當點H落在AC邊上時，求t的值；

（2）設正方形EFGH與△ABC重疊部分的面積為S．①試求S關于t的函數表達式；②以點C為圓心，t為半徑作⊙C，當⊙C與GH所在的直線相切時，求此時S的值．

Answer 1

【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=；②100cm2．

【解析】試題分析：（1）如圖1中，當0＜t≤5時，由題意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如圖2中，當5＜t＜20時，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；

（2）分四種切線討論a、如圖3中，當0＜t≤2時，重疊部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2．b、如圖4中，當2＜t≤5時，重疊部分是五邊形EFGMN．c、如圖5中，當5＜t＜10時，重疊部分是五邊形EFGMN．d、如圖6中，當10＜t＜20時，重疊部分是正方形EFGH．分別計算即可；

②分兩種情形分別列出方程即可解決問題．

試題解析：解：（1）如圖1中，當0＜t≤5時，由題意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2

如圖2中，當5＜t＜20時，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．

綜上所述：t=2s或10s時，點H落在AC邊上．

（2）①如圖3中，當0＜t≤2時，重疊部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2

如圖4中，當2＜t≤5時，重疊部分是五邊形EFGMN，S=（3t）2﹣（5t﹣10）2=﹣t2+50t﹣50．

如圖5中，當5＜t＜10時，重疊部分是五邊形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣（30﹣3t）2=﹣t2+50t﹣50．

如圖6中，當10＜t＜20時，重疊部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．

綜上所述：S=．

②如圖7中，當0＜t≤5時，t+3t=15，解得：t=，此時S=100cm2，當5＜t＜20時，t+20﹣t=15，解得：t=10，此時S=100．

綜上所述：當⊙C與GH所在的直線相切時，求此時S的值為100cm2