Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上，且AE=AB=2，將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，連接BP交EF于點Q，下列結論：①EF=2BE；②△APE≌△QEB；③FQ=3EQ；④SBFPE=8，其中正確的結論是______（只填序號）．

Answer 1

【答案】①②③．

【解析】解：∵AE=AB=2，∴AB=3×2=6，BE=6﹣2=4．∵將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，∴BE=PE=4，即AE=BE=PE．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∠A=90°，∴∠APE=30°，∴∠AEP=60°．∵將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，∴∠BEF=∠FPE=×（180°﹣60°）=60°，∠ABC=∠EPF=90°，∠PFE=∠EFB=180°﹣90°﹣60°=30°，∴EF=2BE，∴①正確；

∵將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，∴EF⊥BP，∴∠EQB=90°

在△APE和△QEB中

∴△APE≌△QEB，∴②正確；

∵∠EBF=∠EQB=∠BQF=90°，∠BFE=30°，∴∠FBQ=90°﹣30°=60°，∠EBQ=90°﹣60°=30°，∴BE=2QE，EF=2BE，∴EF=4QE，∴FQ=3EQ，∴③正確；

∵BE=4，∠EBF=90°，∠EFB=30°，∴BF=BE=4，∴△BEF的面積為==8．∵將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，∴△FPE的面積為8，∴S四邊形BFPE=16，∴④錯誤。

故答案為：①②③．