Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣（2k+3）x+k2+2k=0，有兩個不相等的實數根x1，x2．

（1）求k的取值范圍；

（2）若方程的兩實數根x1，x2滿足x1x2﹣x12﹣x22=﹣16，求實數k的值．

Answer 1

【答案】（1）k＞﹣；（2）k=1．

【解析】試題分析：（1）根據判別式的意義得到△=（2k+3）2﹣4（k2+2k）＞0，然后解不等式即可得到k的范圍；

（2）根據根與系數的關系得到x1+x2=2k+3，x1x2=k2+2k，再利用完全平方公式把x1x2﹣x12﹣x22=﹣16變形為（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16=0，則（2k+3）2﹣3（k2+2k）﹣16=0，然后解方程求出滿足條件的k的值．

試題解析：解：（1）根據題意得：△=（2k+3）2﹣4（k2+2k）＞0，解得：k＞﹣；

（2）根據題意得：x1+x2=2k+3，x1x2=k2+2k，因為x1x2﹣x12﹣x22=﹣16，所以x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]=﹣16，即[（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16=0，所以（2k+3）2﹣3（k2+2k）﹣16=0，解得：k1=﹣7，k2=1，而k＞﹣，所以k=1．