Question

【題目】問題背景

如圖1，在正方形ABCD的內部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根據三角形全等的條件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，從而得到四邊形EFGH是正方形。

類比研究

如圖2，在正△ABC的內部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF兩兩相交于D，E，F三點（D，E，F三點不重合）。

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，請選擇其中一對進行證明；

（2）△DEF是否為正三角形？請說明理由；

（3）進一步探究發現，△ABD的三邊存在一定的等量關系，設，，，請探索，，滿足的等量關系。

Answer 1

【答案】（1）全等；證明見解析；（2）是，理由見解析；（3）c2=a2+ab+b2．

【解析】

試題分析：（1）由正三角形的性質得∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC，證出∠ABD=∠BCE，由ASA證明△ABD≌△BCE即可；、

（2）由全等三角形的性質得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,證出∠FDE=∠DEF=∠EFD,即可得出結論；

（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性質得出∠ADG＝60°，在RtΔADG中，DG=b,AG=b, 在RtΔABG中，由勾股定理即可得出結論.

試題解析： （1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：

∵△ABC是正三角形，

∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，

∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，

∴∠ABD=∠BCE，

在△ABD和△BCE中，

，

∴△ABD≌△BCE（ASA）；

（2）△DEF是正三角形；理由如下：

∵△ABD≌△BCE≌△CAF，

∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，

∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，

∴△DEF是正三角形；

（3）作AG⊥BD于G，如圖所示：

∵△DEF是正三角形，

∴∠ADG=60°，

在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，

在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，

∴c2=a2+ab+b2．