Question

【題目】如圖所示，平面直角坐標系中，拋物線經過、、．過點作軸交拋物線于點，過點作軸，垂足為點．點是四邊形的對角線的交點，點在軸負半軸上，且．

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出四邊形的形狀；

（2）當點、從、兩點同時出發，均以每秒個長度單位的速度沿、方向運動，點運動到時、兩點同時停止運動．設運動的時間為秒，在運動過程中，以、、、四點為頂點的四邊形的面積為，求出與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）在拋物線上是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是梯形？若存在，直接寫出點的坐標；不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1），四邊形為正方形；（2）當時，；當時，；（3）在拋物線上存在點，，，，使以、、、為頂點的四邊形是梯形．

【解析】

（1）由拋物線y=ax2+bx+c經過A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）三點，把三點坐標代入拋物線表達式中，聯立方程解出a、b、c；
（2）過M作MN⊥OE于N，則MN=2，由題意可知CP=FQ=t，當0≤t<2時，OP=6－t，OQ=2－t，列出S與t的關系式，當t=2時，Q與O重合，點M、O、P、Q不能構成四邊形，當2<t<6時，連接MO，ME則MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，可證三角形全等，進而計算出三角形面積；
（3）若B、C、F、N為頂點的四邊形是梯形，則四邊形有兩邊平行，設出N點的坐標，分類討論兩邊平行時N點坐標滿足的條件，進而求出N點坐標．

解：（1）∵拋物線經過、、，

∴，

，

解得，，．

∴拋物線的解析式為．

四邊形為正方形．

（2）連接．

根據題意，可知，，

∴，

∴，

∵運動的時間為，

∴，

過作于，則，

當時，，，

∴，

∴．

當時，與重合，點、、、不能構成四邊形，

當時，連接，則且，

∵，，

∴，

∴，

∴四邊形的面積，

綜上所述，當時，；當時，．

（3）分三種情況：

①以為底邊時，經過點作的平行線，與拋物線交于點的坐標為；

②以為底邊時，經過點作的平行線，與拋物線交于點的坐標為；

③以為底邊時，經過點作的平行線，與拋物線交于點的坐標為或．

故在拋物線上存在點，，，，

使以、、、為頂點的四邊形是梯形．