Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，經過點C的⊙O與△ABC的每條邊都相交．⊙O與AC邊的另一個公共點為D，與BC邊的另一個公共點為E，與AB邊的兩個公共點分別為F、G．設⊙O的半徑為r．

（操作感知）

（1）根據題意，僅用圓規在圖①中作出一個滿足條件的⊙O，并標明相關字母；

（初步探究）

（2）求證：CD2+CE2＝4r2；

（3）當r＝8時，則CD2+CE2+FG2的最大值為　 　；

（深入研究）

（4）直接寫出滿足題意的r的取值范圍；對于范圍內每一個確定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大值，每一個最大值對應的圓心O所形成的路徑長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）48；（4）．

【解析】

（1）根據要求畫出圖形即可（如圖①所示）；

（2）如圖②中，連接．利用勾股定理即可解決問題；

（3）因為是定值，是的弦，的半徑為定值 8，所以弦心距越小則弦越長，圓心在以為圓心8為半徑的圓上，當時，到距離最短，此時最大，由此即可解決問題；

（4）首先確定的范圍．圓心距離最近時的值最大，當半徑比較小時，在上時的值最大，當圓心在 上，圓正好經過點時，設，在△中，則有，解得，當時，若還在上，則點在圓內，圓不與邊相交，推出此時圓心應該是在中垂線上，推出時，在上，時，在中垂線上，則的值最大，推出路徑如下圖折線．

（1）解：如圖①即為所求，

（2）證明：如圖②中，連接DE．

∵∠DCE＝90°，

∴DE為⊙O直徑，即DE＝2r，

∴CD2+CE2＝DE2＝4r2，

（3）解：如圖③中，

∵CD2+CE2是定值，FG是⊙O的弦，⊙O的半徑為定值 8，

∴弦心距越小則弦FG越長，圓心O在以C為圓心8為半徑的圓上，

當CO⊥AB時，O到AB距離最短，此時FG最大，

∵ ，

∴CH＝＝12，

∵OC＝8，

∴OH＝4，

OH⊥FG，

∴，

∴，

∴CD2+CE2+FG2的最大值＝．

故答案為：448．

（4）如圖④中，

當⊙O1 與AB相切時，⊙O1的直徑最小，最小值為12，此時r＝6，

當圓心O2在AB上時，圓直徑最大等于AB＝25，

∴，

∵圓心距離AB最近時CD2+CE2+FG2的值最大，

當半徑比較小時，O在CH上時CD2+CE2+FG2的值最大，

當圓心在CH 上，圓正好經過點A時，設O0A＝O0C＝r，

在Rt△AO0H中，則有r2＝（12﹣r）2+92，

解得：，

∴，

當時，若O還在CH上，則A點在圓內，圓不與AB邊相交，

∴此時圓心應該是在AC中垂線上，

∴時，O在CH上，

時，O在AC中垂線上，則CD2+CE2+FG2的值最大，

∴O路徑如下圖折線 O1﹣O0﹣O2

∵O1H＝6，，

∴，

∵，AH＝9，

∴，

∴，

∴O點路徑長＝．

故答案為：．