Question

【題目】如圖，已知雙曲線y=和直線y=-x+2，P是雙曲線第一象限上一動點，過P作y軸的平行線，交直線y=-x+2于Q點，O為坐標原點．

（1）求直線y=-x+2與坐標軸圍成三角形的周長；

（2）設△PQO的面積為S，求S的最小值．

（3）設定點R（2，2），以點P為圓心，PR為半徑畫⊙P，設⊙P與直線y=-x+2交于M、N兩點．

①判斷點Q與⊙P的位置關系，并說明理由；

②求S△MON=S△PMN時的P點坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，；（3）①點在上，理由見解析；②或．

【解析】

（1）先求直線y=-x+2與坐標軸的交點A,B坐標，利用勾股定理求AB，即可得△OAB的周長。

（2）設，即可得出S=，利用二次函數最值即可求得

（3）①利用勾股定理或兩點之間距離公式可求得PR2和PQ2，由PQ=PR，可得點Q在⊙P上；

②根據等腰直角三角形性質可得OE=，PD=,再由,可得OE=PD，進而可得，從而可求得點P的坐標。

解：（1）如圖，在中，令，得，令，得，解得，

∴，

∴，，

∴的周長

；

（2）設，則，

∴

∴

∴當時，；

（3）①點在上．如圖2，設，

由（2）知，

∴

過點作軸，過點作軸，

與交于，則

∴，

∴

∴

∴

∴點在上；

②如圖3，過點作于，過點作于，則

∵，

∴，

∴，

∵軸

∴

∴是等腰直角三角形

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴或．