Question

【題目】正方形ABCD中，E是CD邊上一點，
（1）將△ADE繞點A按順時針方向旋轉，使AD，AB重合，得到△ABF，如圖1所示．觀察可知：與DE相等的線段是 ， ∠AFB=∠

（2）如圖2，正方形ABCD中，P，Q分別是BC，CD邊上的點，且∠PAQ=45°，試通過旋轉的方式說明：DQ+BP=PQ

（3）在（2）題中，連接BD分別交AP，AQ于M，N，你還能用旋轉的思想說明BM2+DN2=MN2 ．

Answer 1

【答案】
（1）BF；AED
（2）解：將△ADQ繞點A按順時針方向旋轉90°，則AD與AB重合，得到△ABE，如圖2，

則∠D=∠ABE=90°，

即點E、B、P共線，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，

∵∠PAQ=45°，

∴∠PAE=45°，

∴∠PAQ=∠PAE，

在△APE和△APQ中

∵ ，

∴△APE≌△APQ（SAS），

∴PE=PQ，

而PE=PB+BE=PB+DQ，

∴DQ+BP=PQ

（3）解：∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ABD=∠ADB=45°，

如圖，將△ADN繞點A按順時針方向旋轉90°，則AD與AB重合，得到△ABK，

則∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，

與（2）一樣可證明△AMN≌△AMK，得到MN=MK，

∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，

∴△BMK為直角三角形，

∴BK2+BM2=MK2，

∴BM2+DN2=MN2．

【解析】解：（1）∵△ADE繞點A按順時針方向旋轉，使AD、AB重合，得到△ABF，
∵DE=BF，∠AFB=∠AED．
故答案為：BF，AED；
（1）直接根據旋轉的性質得到DE=BF，∠AFB=∠AED；（2）將△ADQ繞點A按順時針方向旋轉90°，則AD與AB重合，得到△ABE，根據旋轉的性質得∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，而∠PAQ=45°，則∠PAE=45°，再根據全等三角形的判定方法得到△APE≌△APQ，則PE=PQ，于是PE=PB+BE=PB+DQ，即可得到DQ+BP=PQ；（3）根據正方形的性質有∠ABD=∠ADB=45°，將△ADN繞點A按順時針方向旋轉90°，則AD與AB重合，得到△ABK，根據旋轉的性質得∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，與（2）一樣可證明△AMN≌△AMK得到MN=MK，由于∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，得到△BMK為直角三角形，根據勾股定理得BK2+BM2=MK2 ， 然后利用等相等代換即可得到BM2+DN2=MN2 ．