Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓， AD是⊙O的直徑，BC的延長線于過點A的直線相交于點E，且∠B=∠EAC．

（1）求證：AE是⊙O的切線；

（2）過點C作CG⊥AD，垂足為F，與AB交于點G，若AGAB=36，tanB=，求DF的值

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4

【解析】分析：（1）欲證明AE是⊙O切線，只要證明OA⊥AE即可；

（2）由△ACD∽△CFD，可得，想辦法求出CD、AD即可解決問題.

詳解：（1）證明：連接CD．

∵∠B=∠D，AD是直徑，

∴∠ACD=90°，∠D+∠1=90°，∠B+∠1=90°，

∵∠B=∠EAC，

∴∠EAC+∠1=90°，

∴OA⊥AE，

∴AE是⊙O的切線．

（2）∵CG⊥AD．OA⊥AE，

∴CG∥AE，

∴∠2=∠3，

∵∠2=∠B，

∴∠3=∠B，

∵∠CAG=∠CAB，

∴△ABC∽△ACG，

∴，

∴AC2=AGAB=36，

∴AC=6，

∵tanD=tanB=，

在Rt△ACD中，tanD==

CD==6，AD==6，

∵∠D=∠D，∠ACD=∠CFD=90°，

∴△ACD∽△CFD，

∴，

∴DF=4，