Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經過點A、C、B的拋物線的一部分c1與經過點A、D、B的拋物線的一部分c2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線成為“蛋線”．已知點C的坐標為（0，﹣ ），點M是拋物線C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的頂點．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；

（3）當△BDM為直角三角形時，求m的值．

Answer 1

【答案】(1) A（﹣1，0），B（3，0）；(2)存在，P（）;(3) m=﹣1或﹣.

【解析】試題分析：（1）將化為交點式，即可得到兩點的坐標；
（2）先用待定系數法得到拋物線C1的解析式，過點P作PQ∥y軸，交BC于Q，用待定系數法得到直線BC的解析式，再根據三角形的面積公式和配方法得到面積的最大值；
（3）先表示出再分兩種情況：①時；

②時，討論即可求得的值．

試題解析：(1)

∵m≠0，

∴當y=0時,

∴A(1,0),B(3,0)；

(2)設，將A. B.C三點的坐標代入得：

解得

故

如圖：過點P作PQ∥y軸，交BC于Q，

由B.C的坐標可得直線BC的解析式為：

設 則

當時,有最大值,

(3)

頂點M坐標(1,4m)，

當x=0時，y=3m，

∴D(0,3m),B(3,0)，

當△BDM為Rt△時有：或

時有：

解得m=1(∵m<0,∴m=1舍去)；

時有：

解得 (舍去).

綜上,m=1或時，為直角三角形.