Question

【題目】已知拋物線，，，…，（n為正整數(shù)），點(diǎn)A(0，1)．

（1）如圖1，過點(diǎn)A作y軸垂線，分別交拋物線，，，…，于點(diǎn)，，，…，（和點(diǎn)A不重合）．

①求的長(zhǎng)．

②求的長(zhǎng)．

（2）如圖2，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸向上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作y軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)，，交拋物線于點(diǎn)，，交拋物線于點(diǎn)，，……，交拋物線于點(diǎn)，（在第二象限）．

①求的值．

②求的值．

（3）過x軸上的點(diǎn)Q（原點(diǎn)除外），作x軸的垂線分別交拋物線，，，…，于點(diǎn)，，，…，，是否存在線段（i，j為正整數(shù)），使，若存在，求出i＋j的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①1；②2020；（2）①1；②2020；（3）存在，最小值是2022

【解析】

（1）①利用函數(shù)解析式可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，可得點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)，從而可求出AP1的值；②求出y2＝x2＋2x＋1的對(duì)稱軸，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，就可得到點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)，即可求出AP2的值，同理可得到AP3的值，根據(jù)其規(guī)律可得到AP2020的值；

（2）①設(shè)點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)為x1，點(diǎn)D1的橫坐標(biāo)為x2，可得到PC1＝－x1，PD1＝x2，從而可表示出PC1－PD1，利用二次函數(shù)的對(duì)稱性可得到x1＋x2＝－1，代入計(jì)算可求解；②利用同樣的方法求出PC2－PD2的值，根據(jù)其規(guī)律可得到PC2020－PD2020的值；

（3）設(shè)點(diǎn)Q(x，0)，可得到OQ的長(zhǎng)，再利用已知條件及函數(shù)解析式，分別求出E1E2＝OQ，E1E3＝2OQ，E1E4＝3OQ，根據(jù)其規(guī)律可得到E1En＝（n－1）OQ，再由， 就可求出i和j的值，然后求和即可.

（1）解：①，

∴拋物線y1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵AP1∥x軸，

∴點(diǎn)A和點(diǎn)P1關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)P1，

∴AP1＝|－1－0|＝1；

②∵y2＝x2＋2x＋1的對(duì)稱軸為直線， 點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)為－2，

∴AP2＝|－2－0|＝2；

同理可知：AP3＝3，

……

AP2020＝2020；

（2）解：①設(shè)點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)為x1，點(diǎn)D1的橫坐標(biāo)為x2，

∴PC1＝－x1， PD1＝x2，

∴PC1－PD1＝－x1－x2＝－（x1＋x2），

拋物線y＝x2＋x＋1對(duì)稱軸為直線x＝， 點(diǎn)C1和點(diǎn)D1關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴，

∴x1＋x2＝－1，

PC1－PD1＝－（－1）＝1；

②設(shè)點(diǎn)C2的橫坐標(biāo)為x1，點(diǎn)D2的橫坐標(biāo)為x2，

∴PC1＝－x1，PD1＝x2，

∴PC2－PD2＝－x1－x2＝－（x1＋x2），

拋物線y＝x2＋2x＋1對(duì)稱軸為直線x＝－，點(diǎn)C2和點(diǎn)D2關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴，

∴x1＋x2＝－2，

∴PC2－PD2＝－（－2）＝2；

……

PC2020－PD2020＝－（－2020）＝2020；

（3）解：設(shè)點(diǎn)Q（x，0）

∴OQ＝－x，

∴E1E2＝x2＋x＋1－（x2＋2x＋1）＝－x＝OQ，

E1E3＝x2＋x＋1－（x2＋3x＋1）＝－2x＝2OQ，

E1E4＝x2＋x＋1－（x2＋4x＋1）＝－3x＝3OQ，

E1En＝x2＋x＋1－（x2＋nx＋1）＝－（1－n）x＝（n－1）OQ，

∵，

∴EiEj＝2020OQ，

∴i＝1，j＝2020＋1＝2021，

∴i＋j的最小值為1＋2021＝2022.