Question

【題目】如圖（1）已知矩形在平面直角坐標系中，，，點的坐標為，動點以每秒2個單位長度的速度沿運動（點不與點、點重合），設運動時間為秒．

（1）求經過、、三點的拋物線解析式；

（2）點在（1）中的拋物線上，當為中點時，若，求點的坐標；

（3）當點在上運動時，如圖（2）過點作，軸，垂足分別為、，設矩形與重疊部分面積為，求與的函數關系式，并求出的最大值；

（4）如圖（3）點在（1）中的拋物線上，是延長線上的一點，且、兩點均在第三象限內，、是位于直線同側的不同兩點，若點到軸的距離為，的面積為，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點或；（3），當時，最大；（4）

【解析】

（1）由直角三角形的性質可求點C，點D坐標，由待定系數法可求解析式；
（2）由全等三角形的性質可得DM=AM，PD=AP，可得點P在AD的垂直平分線上，可求點P的縱坐標，代入可求解；
（3）由題意可證△ACB是等邊三角形，可得CM=2t-4，BF=（8-2t）=4-t，MF=- t，AF=t，即可求重疊部分面積，由二次函數的性質可求解；
（4）先求出直線AC，BP的解析式，即可求點P坐標．

解：（1）∵四邊形是矩形，

∴，，且，，

∴，

∴點，點，

設拋物線解析式為，代，

∴，

解得：，

∴拋物線解析式為；

（2）∵為中點，

∴，

∵△PAM≌△PDM，

∴，

∴點在的垂直平分線上，

∴點縱坐標為，

∴，

∴，，

∴點或；

（3）如圖2，∵，，

∴，，

∴△ACB是等邊三角形，

由題意可得：，，，．

∵四邊形是矩形，

∴，，，

∴，，

∴△CMH是等邊三角形，

∴，

∵，

當時，最大；

（4）∵，又，

∴，

∴，

設直線解析式為，把，代入其中，

得，

∴，

∴直線解析式為：，

設直線的解析式為，

把代入其中，得，

∴，
∴直線解析式為：，

∴，

∴（舍去），，

∴．