Question

【題目】已知：如圖1，拋物線的頂點為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點A，B(點A在點B左側)，根據對稱性△AMB恒為等腰三角形，我們規定：當△AMB為直角三角形時，就稱△AMB為該拋物線的“完美三角形”．

（1）①如圖2,求出拋物線y=x2的“完美三角形”斜邊AB的長；

②請寫出一個拋物線的解析式，使它的完美三角形與y=x2+1的“完美三角形”全等；

（2）若拋物線y=ax2+4的“完美三角形”的斜邊長為4，求a的值；

（3）若拋物線y=mx2+2x+n5的“完美三角形”斜邊長為n,且y=mx2+2x+n5的最大值為1，求m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）①2；②；（2）a＝；（3）， ．

【解析】

（1）①過點B作BN⊥x軸于N，根據△AMB為等腰直角三角形，AB∥x軸，所以∠BMN＝∠ABM＝45，所以∠BMN＝∠MBN，得到MN＝BN，設B點坐標為（n，n），代入拋物線y＝x2，得n＝n2，解得n＝1，n＝0（舍去），所以B（1，1），求出BM的長度，利用勾股定理，即可解答；

②因為拋物線y＝x2＋2與y＝x2+1的形狀相同，所以拋物線y＝x2＋2與y＝x2+1的“完美三角形”的邊長的數量關系是相等的，故可寫出；

（2）根據拋物線y＝ax2與拋物線y＝ax2＋4的形狀相同，所以拋物線y＝ax2與拋物線y＝ax2＋4的“完美三角形”全等，由拋物線y＝ax2＋4的“完美三角形”斜邊的長為4，可得拋物線y＝ax2的“完美三角形”斜邊的長為4，從而確定B點坐標為（2，2）或（2，2），把點B代入y＝ax2中，即可求出a的值；

（3）根據y＝mx2＋2x＋n5的最大值為1，得到＝1，化簡得mn4m1＝0，拋物線y＝mx2＋2x＋n5的“完美三角形”斜邊長為n，所以拋物線y＝mx2的“完美三角形”斜邊長為n，所以B點坐標為(，)，代入拋物線y＝mx2，得mn＝2，即可求出m,n的值．

（1）①過點B作BN⊥x軸于N，如圖2，

∵△AMB為等腰直角三角形，

∴∠ABM=45 ，

∵AB∥x軸，

∴∠BMN=∠ABM=45 ，

∴∠MBN=9045=45 ，

∴∠BMN=∠MBN，

∴MN=BN，

設B點坐標為(n,n),代入拋物線y=x2 ，

得n=n2，

∴n=1,n=0(舍去)，

∴B(1,1)

∴MN=BN=1，

∴MB=

∴MA=MB=

在Rt△AMB中,AB=,

∴拋物線y=x2的“完美三角形”的斜邊AB=2；

②∵拋物線y＝x2＋2與y=x2+1的形狀相同，

∴拋物線y＝x2＋2與y=x2+1的“完美三角形”的邊長的數量關系是相等的，

故可寫出拋物線：y=x2+2；

（2）解：∵拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的形狀相同，

∴拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的“完美三角形”全等，

∵拋物線y=ax2+4的“完美三角形”斜邊的長為4，

∴拋物線y=ax2的“完美三角形”斜邊的長為4，

∴B點坐標為(2,2)或(2,2)，

把點B代入y=ax2中，得a=±；

（3）解：∵y=mx2+2x+n5的最大值為1，

∴ =1，

∴mn4m1=0，

∵拋物線y=mx2+2x+n5的“完美三角形”斜邊長為n，

∴拋物線y=mx2的“完美三角形”斜邊長為n，

∴B點坐標為(，－)，

∴代入拋物線y=mx2，得()2×m= ，

∴mn=2或n=0(不合題意舍去)，

代入mn4m1=0，解得m=，

∴n=．