Question

【題目】閱讀以下材料，并解決相應問題：

小明在課外學習時遇到這樣一個問題：

定義：如果二次函數y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常數）與y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常數）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個函數互為“旋轉函數”．求函數y＝2x2﹣3x+1的旋轉函數，小明是這樣思考的，由函數y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個函數的旋轉函數．

請思考小明的方法解決下面問題：

（1）寫出函數y＝x2﹣4x+3的旋轉函數．

（2）若函數y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為旋轉函數，求（m+n）2020的值．

（3）已知函數y＝2（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關于原點的對稱點分別是A1、B1、C1，試求證：經過點A1、B1、C1的二次函數與y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉函數”．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）1；（3）見解析

【解析】

（1）由二次函數的解析式可得出a1，b1，c1的值，結合“旋轉函數”的定義可求出a2，b2，c2的值，此問得解；

（2）由函數y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為“旋轉函數”，可求出m，n的值，將其代入（m+n）2020即可求出結論；

（3）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，B，C的坐標，結合對稱的性質可求出點A1，B1，C1的坐標，由點A1，B1，C1的坐標，利用交點式可求出過點A1，B1，C1的二次函數解析式，由兩函數的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可證出經過點A1，B1，C1的二次函數與函數y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉函數”．

解：（1）由y＝x2﹣4x+3函數可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，

∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，

∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，

∴函數y＝x2﹣4x+3的“旋轉函數”為y＝﹣x2﹣4x﹣3；

（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為“旋轉函數”，

∴，

解得：，

∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．

（3）證明：當x＝0時，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，

∴點C的坐標為（0，﹣6）．

當y＝0時，2（x﹣1）（x+3）＝0，

解得：x1＝1，x2＝﹣3，

∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（﹣3，0）．

∵點A，B，C關于原點的對稱點分別是A1，B1，C1，

∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．

設過點A1，B1，C1的二次函數解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），

將C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，

解得：a＝﹣2，

過點A1，B1，C1的二次函數解析式為y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．

∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，

∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，

∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，

∴經過點A1，B1，C1的二次函數與函數y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉函數”．