Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是的直徑，PA與⊙O 相切于點A，點C在⊙O 上，且PC＝PA，

（1）求證PC是⊙O的切線；

（2）過點C作CD⊥AB于點E，交⊙O于點D，若CD＝PA＝2，

①求圖中陰影部分面積；

②連接AC，若△PAC的內切圓圓心為I，則線段IE的長為 ．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①S陰影＝． ②．

【解析】

（1）連接OCOP，證明△PCO≌△PAO，即可解答

（2）①作CM⊥AP于點M，得到△PCA是等邊三角形．然后在Rt△COE中得到OC＝2．即可解答 .

②根據題意求出CH=AH=3，由I為正△PAC的內心，即可求出解答 .

（1）證明：連接OCOP，

∵點C在⊙O上，

∴OC為半徑．

∵PA與⊙O相切于點A，

∴OA⊥PA．

∴∠PAO＝90°．

∵OC＝OA，

OP＝OP，

PC＝PA，

∴△PCO≌△PAO．

∴∠PCO＝∠PAO＝90°．

∴PC⊥OC．

∴PC是⊙O的切線．

（2）①作CM⊥AP于點M，

∵CD⊥AB，

∴CE＝DE＝ ，∠CEA＝90°．

∴四邊形CMAE是矩形．

∴AM＝．

∴PM＝AM．

∴PC＝AC．

∵PC＝PA，

∴△PCA是等邊三角形．

∴∠PAC＝60°．

∴∠CAB＝30°．

∴∠COE＝60°．

∴∠COD＝120°．

在Rt△COE中，

sin60°＝ ，

∴OC＝2．

∴S陰影＝π－．

②∵AP=2 ,AH=CE=

∴CH=AH=3

又∵I為正△PAC的內心

∴CI= CH=2

∴IE= = =