Question

【題目】根據問題進行證明：

（1）已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P，求證：AP=BQ．

（2）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點C的切線交AB的延長線于點D且∠A=∠D．求∠D的度數．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）由正方形的性質知AD=BA、∠BAD=90°，由AQ⊥BE、DP⊥AQ知∠BAQ=∠ADP、∠AQB=∠DPA=90°，即可證△AQB≌△DPA得AP=BQ；

（2）由切線的性質知∠OCD=90°即∠COB+∠D=90°，由圓周角定理知∠COB=2∠A，結合∠A=∠D可得答案．

（1）∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°，

∵DP⊥AQ，

∴∠ADP+∠DAP=90°，

∴∠BAQ=∠ADP，

∵AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P，

∴∠AQB=∠DPA=90°，

在△AQB和△DPA中，

∵，

∴△AQB≌△DPA（AAS），

∴AP=BQ；

（2）如圖，連接OC，

∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∴∠COB+∠D=90°，

由圓周角定理得∠COB=2∠A，

∵∠A=∠D，

∴2∠A+∠A=90°，

∴∠A=30°，

∴∠D=30°．