Question

【題目】如圖,四邊形ABCD中，∠B=90°, AB//CD，M為BC邊上的一點，AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

求證:(1) AM⊥DM;

(2) M為BC的中點.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）根據平行線的性質得到∠BAD＋∠ADC＝180°，根據角平分線的定義得到∠MAD＋∠ADM＝90°，求出∠AMD＝90°，根據垂直的定義得到答案；

（2）作MN⊥AD，根據角平分線的性質得到BM＝MN，MN＝CM，等量代換可得結論．

證明：（1）∵AB∥CD，

∴∠BAD＋∠ADC＝180°，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°，

∴∠MAD＋∠ADM＝90°，

∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM；

（2）作MN⊥AD交AD于N，

∵∠B＝90°，AB∥CD，

∴BM⊥AB，CM⊥CD，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴BM＝MN，MN＝CM，

∴BM＝CM，即M為BC的中點．